（2005•三明）如图，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，直线CD、EF过点B交⊙O1于点C、E，交⊙O2于点D、F．
（2005•三明）如图，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，直线CD、EF过点B交⊙O1于点C、E，交⊙O2于点D、F．（1）求证：△ACD∽△AEF；
（2）若AB⊥CD，且在△AEF中，AF、AE、EF的长分别为3、4、5，求证：AC是⊙O2的切线．
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解题思路：（1）两角对应相等可以判定△ACD∽△AEF．
（2）由勾股定理得出∠EAF=90°，证明AC是⊙O2的切线，AC⊥AD是关键，通过△ACD∽△AEF得以证明．
（2）由勾股定理得出∠EAF=90°，证明AC是⊙O2的切线，AC⊥AD是关键，通过△ACD∽△AEF得以证明．
证明：（1）∵在⊙O1中，∠C=∠E，
∵∠D=∠F，
∴△ACD∽△AEF；
（2）∵AB⊥CD，即∠ABD=90°，
∴AD是⊙O2的直径，
∵在△AEF中，AF2+AE2=32+42=52=EF2，
∴∠EAF=90°，
由（1）得△ACD∽△AEF，
∴∠CAD=∠EAF=90°，
∴AC⊥AD，
又∵AD是⊙O2的直径，
∴AC是⊙O2的切线．
点评：
本题考点： 切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质及切线的判定的综合运用．
1年前
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