大一的线代题目,

5 C
已知n维向量α1,α2,α3线性无关,若β1,β2,β3可用α1,α2,α3线性表出,设
（β1,β2,β3）=（α1,α2,α3）C
证明β1,β2,β3线性无关的充分必要条件是 |C|≠0
证：
记A=（α1,α2,α3）,B=（β1,β2,β3）
必要性
若β1,β2,β3线性无关,则秩r（B）=r（β1,β2,β3）=3 又
r（B）=r（AC）≤r（C）≤3
因此,秩r（C）=3,即矩阵C可逆,|C|≠0
充分性
若|C|≠0,即矩阵C可逆,那么
r（B）=r（AC）=r（A）=r（α1,α2,α3）=3
所以β1,β2,β3线性无关.
希望把这一结论掌握.