（2013•海淀区一模）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点

证明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）在正△ABC中，BM=2
3．
在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．
∠ADC=120°，∴DM＝
2
3
3，
∴[BM/MD＝
3
1]．
在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4
2，
∴[BN/NP＝
3
1]，
∴[BN/NP＝
BM
MD]，
∴MN∥PD．
又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，
∴MN∥平面PDC．
（Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，
∴B（4，0，0），C(2，2
3，0)，D(0，
4
3
3，0)，P（0，0，4）．
由（Ⅱ）可知，

DB＝(4，−
4

点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 熟练掌握正三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例在三角形中的逆定理应用、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的平面角是解题的关键．

1年前

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