如图1,在正方形ABCD中,M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线

题目打漏,是正方形abcd改为正三角形abc ,我只证明⑵.⑴的证明留给楼主照样作.
如图,BP是取Q,使⊿NCQ也是正三角形,
设AB＝a,QC＝s,CM＝t,则MB＝a-t
∠Q＝∠B＝60º∠QMN＝120º-∠BMA＝∠BAM∴⊿ABM∽⊿MQN﹙AAA﹚
s/﹙s+t﹚＝﹙a-t﹚/asa＝sa-st+ta-t²得到a＝s+t﹙注意t≠0﹚
MB＝a-t＝s＝NQ∴ ⊿ABM≌⊿MQN﹙ASA﹚AM＝NM⊿AMN为正三角形,AM＝AN.

（1）由题中条件可得∠AEM=∠MCN=135°，再由两角夹一边即可判定三角形全等；
（2）还是利用两角夹一边证明其全等，证明方法同（1）．（1）∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=45°，
∴∠AEM=135°，
∵CN平分∠DCP，
∴∠PCN=45°，
∴∠AEM=∠MCN=135°
在△AEM和△MCN中：

（1）由题中条件可得∠AEM=∠MCN=135°，再由两角夹一边即可判定三角形全等；
（2）还是利用两角夹一边证明其全等，证明方法同（1）．（1）∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=45°，
∴∠AEM=135°，
∵CN平分∠DCP，
∴∠PCN=45°，
∴∠AEM=∠MCN=135°
在△AEM和△MCN中：

(1)∵AE=MC，

∴BE=BM，

∴∠BEM=∠EMB=45°，

∴∠AEM=135°，

∵CN平分∠DCP，

∴∠PCN=45°，

∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中：

∵ {∠AEM=∠MCNAE=MC∠EAM=∠CMN

∴△AEM≌△MCN，

∴AM=MN；

（2）仍然成立．

在边AB上截取AE=MC，连接ME，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

∴∠ACP=120°，

∵AE=MC，

∴BE=BM，

∴∠BEM=∠EMB=60°，

∴∠AEM=120°，

∵CN平分∠ACP，

∴∠PCN=60°，

∴∠AEM=∠MCN=120°，

∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，

∴△AEM≌△MCN，

∴AM=MN．