微分方程中dx dy怎么可以乘除

（1）dx可以乘过去是因为微分的定义,以及微分的计算公式dy=f'(x)dx
（2）不定积分∫f(x)dx中的被积表达式f(x)dx,按其定义的确仅仅是形式的东西,但是由性质：
d[∫f(x)dx]=(∫f(x)dx)'dx=f(x)dx 发现,它恰好就是原函数的微分,所有可以看做微分.
（3）真正有问题的是定积分中的被积表达式,以下用∫(a,b)f(x)dx 表示从a到b对f(x)求定积分.
这里的f(x)dx真正是完全形式的了,与微分相去甚远,有很多书把定积分记作∫(a,b)f,根本就不写出积分变量来,因为由定积分的定义知,这个自变量是什么根本不重要,那么定积分该怎么计算呢?定积分中的换元积分法以及分部积分法又怎么来的呢?这个就是牛顿和莱布尼兹的贡献!
解决问题的关键：变上限积分 ∫(a,x)f(t)dt 这个东西按定义是个定积分,但是当x变动的时候,它是个函数,而最最重要的是它的微分 d[∫(a,x)f(t)dt]=f(x)dx,由此我们又一次看到定积分的被积表达式部分与微分联系了起来,这个结论是微积分部分最重要的一个结论,它的一个直接的结果就是牛顿-莱布尼兹公式 .
也许有同学会拘泥于 f(t)dt 与 f(x)dx中积分变量的差别,其实要注意到,由定积分的定义,积分变量用什么表示都是没有关系的,∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(y)dy=∫(a,b)f(t)dt=...
变上限积分 ∫(a,x)f(t)dt 有些书上就写成了 ∫(a,x)f(x)dx,但是这个导致很多学生不理解,所以把积分变量改成了跟积分的变上限x不同的东西.其实变上限积分,完全可以写成 ∫(a,x)f 的.、
打字真累,不如直接讲课轻松.

dy/dx=f'(x)
dy=f'(x)dx


完全符合数学理论

初等的理解方式：dx、dy相当于差值△x、△y趋向于零，本身就是一种长度。可以除。
稍微精确点：dx、dy是微分。x、y首先是函数，d作用于一个函数，就是求它的全变差的极限。是无穷小量，只要除出来有意义，当然可以除。
比较高等的理dx、dy是一种测度，他们之间有转换关系。

因为y=y(x)是x的函数，长度dy就是dx的y’倍。在x=0就是y‘(0)倍，在x=x0...