已知双曲线S的中心是原点O，离心率为5，抛物线y2=25x的焦点是双曲线S的一个焦点，直线l：y=kx+1与双曲线S交于

（I）由题意设双曲线S的方程为
x2
a2-
y2
b2=1(a＞0，b＞0)且c为它的半焦距，
根据已知得 c=

5
2，
c
a=
5
∴a=
1
2
∵b²=c²-a²=1，∴b=1
所以双曲线S的方程为4x²-y²=1．
（II）由题意得

y=kx+1
4x2-y2=1消去y得（4-k²）x²-2kx-2=0x²-2kx-2=0
当△＞0且4-k⁴≠0即4k²+8（4-k²）＞0且k≠±2时，
l与双曲线S有两个不同交点A，B
∴-2
2＜ k＜2
2且k≠±2
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∵以AB为直径的圆经过原点O，∴OA⊥OB，∴

OA•

OB=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵x1+x2=
2k
4-k2，x1x2=
-2
4-k2，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0
∴[-2
4-k2 +k2•
-2
4-k2+k•
2k
4-k2+1=0
化简得k²=2
所以k=±
2
经检验k=±
2符合条件．
所以当以AB为直径的圆经过原点O时，实数k的值为 ±
2．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评： 解决这种求双曲线的方程问题关键是熟悉双曲线中a，b，c之间的关系，解决求直线方程问题关键是把垂直问题转化为向量垂直再结合者根与系数的关系列方程解方程即可，此知识点是高考考查的重点．

1年前

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