已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），F1、F2分别是它的左、右焦点，A（-1，0）是其左顶点，且双曲

解题思路：（1）由题可知：a=1．由于e＝

c

a

＝2，可得c=2．再利用b²=c²-a²即可．
（2）设直线l的方程为：x=ty+2，另设：P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．联立

3x2−y2＝3 x＝ty+2

，可得根与系数的关系．又直线AP的方程为y＝

y1

x1+1

(x+1)，解得M(

1

2

，

3y1

2(x1+1)

)．同理解得N(

1

2

，

3y2

2(x2+1)

)．只要证明

MF2

•

NF2

=0即可．
（3）当直线l的方程为x=2时，解得P（2，3）．易知此时△AF₂P为等腰直角三角形，可得：λ=2．
当∠AF₂P=2∠PAF₂对直线l存在斜率的情形也成立．利用正切的倍角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性即可证明．

（1）由题可知：a=1．
∵e＝
c
a＝2，
∴c=2．
∴b²=c²-a²=3，
∴双曲线C的方程为：x2−
y2
3＝1．
（2）证明：设直线l的方程为：x=ty+2，另设：P（x₁，y₁），
Q（x₂，y₂）．
联立

3x2−y2＝3
x＝ty+2，化为（3t²-1）y²+12ty+9=0．
∴y1+y2＝
−12t
3t2−1，y1y2＝
9
3t2−1．
又直线AP的方程为y＝
y1
x1+1(x+1)，代入x=[1/2]，
解得M(
1
2，
3y1
2(x1+1))．
同理，直线AQ的方程为y＝
y2
x2+1(x+1)，代入x=[1/2]，解得N(
1
2，
3y2
2(x2+1))．
∴

M

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、正切的倍角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．