分母是2013的最简真分数有 ___ 个？它们的和是 ___ ．

解题思路：（1）最简真分数是指：分子小于分母，并且分子与分母只有公因数1的分数．
2013=3×11×61，
2013÷3=671，
2013÷11=183，
2013÷61=33，
2013÷（3×11）=61，
2013÷（3×61）=11，
2013÷（11×61）=3，
2013÷（3×11×61）=1，
最简分数的个数是：2013-（671+183+33）+（61+11+3）-1，计算即可．
（2）以2013为分母的真分数只有[3/2013]，[11/2013]，[33/2013]，[61/2013]，[183/2013]，[671/2013]不是最简真分数，以2013为分母的真分数为（1+2012）×2012÷2÷2013，这个数再减去以上6个数，即：
即最终列式为[（1+2012）×2012÷2-3-11-33-61-183-671]÷2013=1005[1051/2013]．

（1）2013=3×11×61，
2013÷3=671，
2013÷11=183，
2013÷61=33，
2013÷（3×11）=61，
2013÷（3×61）=11，
2013÷（11×61）=3，
2013÷（3×11×61）=1；
最简分数的个数是
2013-（671+183+33）+（61+11+3）-1
=2013-887+75-1
=1200；
答：分母为2013的最简真分数有1200个．
（2）以2013为分母的真分数只有[3/2013]，[11/2013]，[33/2013]，[61/2013]，[183/2013]，[671/2013]不是最简真分数，以2013为分母的真分数的和是〔（1+2012）×2012÷2-（3+3×671）×671÷2-（11+11×183）×183÷2-（61+61×33）×33÷2+（33+33×61）×61÷2+（183+183×11）×11÷2+（671+671×13）×3÷2〕÷2013
=〔2025078-+〕÷2013
=1207800÷2013
=600
故答案为：1200，600．

点评：
本题考点： 巧算分数和；最简分数．

考点点评： 因为2013=3×11×61，所以分子只要是3、11或61的倍数的分数都不是最简真分数，但要注意分子为3与11、3与61、11与61的公倍数时，只能算一次．