求证：不论n为怎样的整数，n(n+1)(2n+1)6的计算结果都是整数．

解题思路：首先证明n（n+1）（2n+1）能被2整除，再分情况讨论证明n（n+1）（2n+1）能被3整除从而得出n（n+1）（2n+1）能被6整除．

∵n（n+1）是两个连续的整数，必有一个偶数，
所以n（n+1）（2n+1）必定能被2整除，
现在证明他也能被3整除，
再考虑n，∵k表示整数，
①n=3k
显然n（n+1）（2n+1）能被3整除，
②n=3k+1，
∴2n+1=2（3k+1）+1=6k+3=3（2k+1），能被3整除，
显然n（n+1）（2n+1）能被3整除，
③n=3k+2，
n+1=3k+3能被3整除，
显然n（n+1）（2n+1）能被3整除，
综上所述：
n（n+1）（2n+1）能被6整除．
即不论n为怎样的整数，
n(n+1)(2n+1)
6的计算结果都是整数．

点评：
本题考点： 因式分解的应用．

考点点评： 此题主要考查了因式分解的应用，根据已知分别得出n（n+1）（2n+1）能被2整除以及n（n+1）（2n+1）能被3整除是解题关键．

显然
(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)/6 - n(n+1)(2n+1)/6 =(n+1)^2
故 n(n+1)(2n+1)/6 =1+2^2+...+n^2
整数加起来还是整数
所以 n(n+1)(2n+1)/6是整数

n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n-1+n+2)=(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)
三个连续的数相乘必可被6整除，故上式可被6整除