为了适应新课改的要求，某重点高中在高一500名新生中开设选修课．其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第n次选修
| 为了适应新课改的要求，某重点高中在高一500名新生中开设选修课．其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第n次选修人数为a n 个，且第n（n≥2）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第n-1次选修人数的一半还多15人． （1）当a 1 ≠30时，写出数列{a n }的一个递推公式，并证明数列{a n -30}是一个等比数列； （2）求出用a 1 和n表示的数列{a n }的通项公式．如果选《趣味数学》的学生越来越多，求a 1 的取值范围． |
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（1）依题意，有 a n =
1
2 a n-1 +15 ，（其中n≥2）；
∴ a n -30=
1
2 ( a n-1 -30) ，
又a 1 ≠30，即a 1 -30≠0，
故{a n -30}是一个以（a 1 -30）为首项，
1
2 为公比的等比数列．
（2）由（1）得： a n -30=( a 1 -30)•(
1
2 ) n-1 ；
∴ a n =30+( a 1 -30)•(
1
2 ) n-1 ，
又 a n - a n-1 =( a 1 -30)[ (
1
2 ) n-1 - (
1
2 ) n-2 ]=(30- a 1 )•(
1
2 ) n-1 ＞0 ．
∴a 1 的取值范围是：0≤a 1 ＜30．
1
2 a n-1 +15 ，（其中n≥2）；
∴ a n -30=
1
2 ( a n-1 -30) ，
又a 1 ≠30，即a 1 -30≠0，
故{a n -30}是一个以（a 1 -30）为首项，
1
2 为公比的等比数列．
（2）由（1）得： a n -30=( a 1 -30)•(
1
2 ) n-1 ；
∴ a n =30+( a 1 -30)•(
1
2 ) n-1 ，
又 a n - a n-1 =( a 1 -30)[ (
1
2 ) n-1 - (
1
2 ) n-2 ]=(30- a 1 )•(
1
2 ) n-1 ＞0 ．
∴a 1 的取值范围是：0≤a 1 ＜30．
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1年前2个回答
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