BG是以BC为直径的半圆中的一条弦,过弧BG的中点……

分别连接AB、AO
因为BC是直径,所以,角BAC是直角
所以,角ABE=角BAD
角OAD=角AFE
所以,AE=BF,AE=EF
所以,AE=BE=EF

证明：

方法一：

连结AB
易证：

∠ABE=∠BAD, ∠OAD= ∠AFE
∴AE= BF，AE= EF

∴AE= BE= EF

方法2：

连接AC、OA、OG
∵BC为直径，A为圆上一点
∴∠BAC＝90
∴∠ACB+∠ABC＝90
∵AD⊥BC
∴∠BAD+∠ABC＝90
∴∠BAD＝∠ACB
∵A为弧BG的中点
∴弧AB＝弧AG
∵∠ACB对应劣弧AB，∠ABG对应劣弧AG
∴∠ACB＝∠ABG
∴∠BAD＝∠ABG
∴AE＝BE
∵OA＝OB
∴∠OAB＝∠OBA
∵∠CBG＝∠OBA-∠ABG，∠OAD＝∠OAB-∠BAD
∴∠CBG＝∠OAD
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA
∵∠CAD＝∠OAC+∠OAD，∠AFB＝∠OCA+∠CBG
∴∠CAD＝∠AFB
∴AE＝EF
∴BE＝AE＝EF

证明：
连接AC、OA、OG
∵BC为直径，A为圆上一点
∴∠BAC＝90
∴∠ACB+∠ABC＝90
∵AD⊥BC
∴∠BAD+∠ABC＝90
∴∠BAD＝∠ACB
∵A为弧BG的中点
∴弧AB＝弧AG
∵∠ACB对应劣弧AB，∠ABG对应劣弧AG
∴∠ACB＝∠ABG
∴∠BAD＝∠ABG
...