线性代数证明题：如果存在正整数k使得A^k=0,则称A为幂零矩阵.证明幂零矩阵的特征值为0.

YJ风轻云淡 1年前 已收到2个回答 举报
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梓欣 幼苗

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设 a 是A的特征值.
则 a^k 是 A^k 的特征值
而 A^k=0,零矩阵的特征值只有0
所以 a^k = 0
所以 a = 0
所以 幂零矩阵的特征值只能为0

1年前 追问

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YJ风轻云淡 举报

这个是用了什么定理么？

举报 梓欣

设 f(x) 是一个多项式 a是A的特征值, 则 f(a) 是 f(A)的特征值 这是原定理

adaihui 幼苗

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设t是A的一个特征值，x是对应的特征向量
Ax=tx
AAx=Atx=t^2x
归纳可得A^nx=t^nx
所以A^k=t^kx=0，t^k是A^k的特征向量
等式恒成立只有t=0

1年前

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