如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边A

解题思路：（1）由圆O的圆周角∠ACB=90°，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形，又AD是△ABC的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=ED，利用HL可证明直角三角形ACD与AED全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由三角形ABC为直角三角形，根据AC及CB的长，利用勾股定理求出AB的长，由第一问的结论AE=AC，用AB-AE可求出EB的长，再由（1）∠AED=90°，得到DE与AB垂直，可得三角形BDE为直角三角形，设DE=CD=x，用CB-CD表示出BD=12-x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长．

（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），
∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），
∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），
又AD是△ABC的∠BAC的平分线（已知），
∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），
∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，


CD＝ED
AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；
（2）∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，
∴根据勾股定理得：AB=
52+122=13，
由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，
设CD=DE=x，则DB=BC-CD=12-x，EB=AB-AE=AB-AC=13-5=8，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD²=BE²+ED²，
即（12-x）²=x²+8²，
解得：x=[10/3]，
∴CD=[10/3]，又AC=5，△ACD为直角三角形，
∴根据勾股定理得：AD=
AC2+CD2=
5
13
3．

点评：
本题考点： 圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评： 此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，利用了转化的思想，本题的思路为：根据圆周角定理得出直角，利用勾股定理构造方程来求解，从而得到解决问题的目的．灵活运用圆周角定理及勾股定理是解本题的关键．