（2014•湖南二模）设x=a和x=b是函数f（x）=lnx+[1/2]x2-（m+2）x的两个极值点，其中a＜b，m∈

解题思路：（1）函数f（x）有两个极值点，即它的导函数有两个不相等的正实数根，转化成二次函数有实根的问题，由韦达定理，利用二次函数的单调性求出f（a）+f（b）的取值范围；
（2）将f（b）-f（a）化简变形，令t=[b/a]，构造关于t的一个函数，再由m≥

e

+

1

e

-2求出t的取值范围，求出f（b）-f（a）的最大值．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=[1/x+x−(m+2)=
x2−(m+2)x+1
x]，
依题意，方程x²-（m+2）x+1=0有两个不等的正根a、b（其中a＜b），
故

(m+2)2−4＞0
m+2＞0，∴m＞0，
又a+b=m+2，ab=1，
∴f（a）+f（b）=lnab+[1/2(a2+b2)-（m+2）（a+b）
=
1
2[(a+b)2−2ab]-（m+2）（a+b）=-
1
2(m+2)2−1，
∵m＞0，∴-
1
2]（m+2）²-1＜-3，
故f（a）+f（b）的取值范围是（-∞，-3）；
（2）当m≥
e+
1

e-2时，（m+2）²≥e+[1/e]+2，
设t=[b/a]（t＞1），则（m+2）²=（a+b）²=
(a+b)2
ab=t+[1/t+2≥e+
1
e]+2，
∴t+

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题是考查了函数的极值，运用了求导，构造函数，等价转化，化归等思想，是一道导数的综合应用题，中等难度．