已知a,b>0,且a+b=1,求证：（ax+by)(ay+bx)_>xy.(由于大于等于这个符号在手机打不出来所以用_>

证明：∵a+b=1
∴a²+b²=1-2ab
（ax+by)(ay+bx)
=a²xy+abx²+aby²+b²xy
=xy（a²+b²）+ab（x²+y²）
=xy（1-2ab）+ab（x²+y²）
=xy-2abxy+ab（x²+y²）
=xy+ab（x²+y²-2xy）
=xy+ab（x-y）²
∵（x-y）²≥0,ab＞0
∴（ax+by)(ay+bx)≥xy

(ax+by)(ay+bx)
=(ax+bx-bx+by)(ay+by-by+bx)
=[(a+b)x-(x-y)b][(a+b)y+(x-y)b]
=[x-(x-y)b][y+(x-y)b] 因为a+b=1
=xy+(x-y)bx-(x-y)by-(x-y)^2*b^2
=xy+(x-y)^2*b*(1-b)
因为b>0，1-b=a>0，(x-y)^2>=0
所以(x-y)^2*b*(1-b)>=0
于是(ax+by)(ay+bx)>=xy

过程如下：

(ax+by)(ay+bx)
=(ax+bx-bx+by)(ay+by-by+bx)
=[(a+b)x-(x-y)b][(a+b)y+(x-y)b]
=[x-(x-y)b][y+(x-y)b] 因为a+b=1
=xy+(x-y)bx-(x-y)by-(x-y)^2*b^2
=xy+(x-y)^2*b*(1-b)
∵b>0，1-b=a>0，(x-y)^2>=0
∴(x-y)^2*b*(1-b)>=0
∴(ax+by)(ay+bx)>=xy