求幂级数∞n＝1(−1)n−1(1+1n(2n−1))x2n的收敛区间与和函数f（x）．

∞

n＝1

(−1)n−1x2n

∞

n＝1

(−1)n−1

n(2n−1)

x2n

∞

n＝1

S″(x)＝

∞

n＝1

(−1)n−1x2n−2＝

1

1+x2

，x∈(−1，1)

设S（x）=
∞

n＝1
(−1)n−1
n(2n−1)x2n，
则：f（x）=
∞

n＝1(−1)n−1x2n+
∞

n＝1
(−1)n−1
n(2n−1)x2n=
∞

n＝1(−1)n−1x2n+2S（x），
记：a_n（x）=
(−1)n−1
2n(2n−1)x2n，
则当：
lim
n→∞|
an+1(x)
an(x) |=
lim
n→∞
(n+1)(2n+1)
n(2n−1)x2=x²＜1时，S（x）收敛，
从而，S（x）的收敛半径为1，收敛区间为 （-1，1）．
对S（x）逐项求导可得：
S″(x)＝
∞

n＝1(−1)n−1x2n−2＝
1
1+x2，x∈(−1，1)，
因为 S（0）=S′（0）=0，
所以：
S′(x)＝
∫x0S″(t)dt＝
∫x0
1
1+t2dt＝arctanx，
S(x)＝
∫x0S′(t)dt＝
∫x0arctantdt＝xarctanx−
1
2ln(1+x2)．
又因为：
∞

n＝1(−1)n−1x2n＝
x2
1+x2，x∈(−1，1)，
所以：f(x)＝2S(x)+
x2
1+x2=2xarctanx−ln(1+x2)+
x2
1+x2，x∈(−1，1)．

点评：
本题考点： 求幂级数的收敛半径和收敛域；幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域；幂级数和函数的性质．

考点点评： 本题考察了幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数的求法，综合利用了幂级数和函数的逐项求导与逐项积分的性质，综合性较强，需要一定的数学功底，额外要注意求收敛区间和收敛域的区别．