已知圆心为C的圆经过点A（1，4），B（3，6），且圆心C在直线4x-3y=0上．

解题思路：（1）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，由条件可得

(1−a)2+(4−b)2＝r2 (3−a)2+(6−b)2＝r2 4a−3b＝0

，解得a、b、c的值，可得圆C的方程．
（2）根据圆心C到直线l的距离d＝

|−1+m|

2

＝

4−( 14 2 )2

，求得m的值．
（3）不妨设P（x，y），则|PM|²+|PN|²=2（x²+y²）+32．再根据x²+y²表示的意义以及|OP|_min=3，求得|PM|²+|PN|²的最小值．

（1）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，由条件可知：

(1−a)2+(4−b)2＝r2
(3−a)2+(6−b)2＝r2
4a−3b＝0．
解得：

a＝3
b＝4
r＝2，故圆C的方程为：（x-3）²+（y-4）²=4．
（2）圆心C到直线l：y=x+m的距离为d＝
|−1+m|

2＝
4−(

14
2)2，
即：|m-1|=1，解得m=2或0．
∵m是正实数，∴m=2．
（3）不妨设P（x，y），则|PM|²+|PN|²=2（x²+y²）+32．
∵x²+y²表示圆上动点P（x，y）与原点O的距离的平方，且|OP|_min=3，
∴|PM|²+|PN|²的最小值为2×3²+32=50．

点评：
本题考点： 圆的标准方程；点到直线的距离公式．

考点点评： 本题主要考查用待定系数法求圆的方程，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．