求自然数N，使得它能倍5和49整除，并且有10个约数（包括1和本身）

解题思路：设N=5×49×M，则N=5×72×M，所以5的个数至少是2个，7的个数至少是3个，这时由5和7组成的约数的个数是：2×3=6，不是10的因数，所以需要再把7的因数的总个数由3个变为5个，因此，M=72，这时N=5×72×72=N=5×74，那么N的约数的个数是：（1+1）÷（4+1）=10；符合要求，所以N=5×74=12005；据此解答．

根据分析可得，
设N=5×49×M，则N=5×7²×M，
所以5的个数至少是2个，7的个数至少是3个，这时由5和7组成的约数的个数是：2×3=6，不是10的因数，
所以需要再把7的因数的总个数由3个变为5个，
因此，M=7²，这时N=5×7²×7²=N=5×7⁴，
那么N的约数的个数是：（1+1）÷（4+1）=10；符合要求，
所以，N=5×7⁴=12005．

点评：
本题考点： 约数个数与约数和定理．

考点点评： 此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式的逆用：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．

5与49的乘积245有六个约数：1 5 7 35 49 245
若增加一个乘数a（不是前面的六个约数）组成新的自然数，则增加的约数是：a 5a 7a 35a 49a 245a
此时就有12个约数了，不符合题意
增加的乘数可能是前面的六个约数：
若增加的乘数是1，增加的约数没有
若增加的乘数是5，增加的约数是：25 175 1225
若增加的乘数是7，...