如图,已知三角形ABC面积为1,点D在AB上,G在AC上,E、F在BC上,且DG//BC,DE//AC,GF//AB,求
如图,已知三角形ABC面积为1,点D在AB上,G在AC上,E、F在BC上,且DG//BC,DE//AC,GF//AB,求梯形DEGF面积的最大值.
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设AD/AB=x,则BD/AB=1-x,
∵DG∥BC,
∴CG/AC=BD/AB=1-x,
∵DG∥BC,DE∥AC,GF∥AB,
∴△ADG∽△ABC,△BDE∽△BAC,△CFG∽△CBA,
∴S△ADG/S△ABC=(AD/AB) =x ,S△ABC=1 S△ADG=x ,
S△BDE/△BAC=(BD/AB) =（1-x) ,S△ABC=1 S△BDE=(1-x)
S△CFG/△CBA=(CG/AC)8=（1-x) ,S△ABC=1 S△CFG=(1-x)
∴S梯形DEFG
=S△ABC-S△ADG-S△BDE-S△CFG
=1-x -2(1-x)
=-3x +4x-1
=-3(x-2/3) +1/3,
∴当x=2/3时,即AD/AB=2/3,此时BD＜DA,梯形DEFG面积的最大值为1/3．
∵DG∥BC,
∴CG/AC=BD/AB=1-x,
∵DG∥BC,DE∥AC,GF∥AB,
∴△ADG∽△ABC,△BDE∽△BAC,△CFG∽△CBA,
∴S△ADG/S△ABC=(AD/AB) =x ,S△ABC=1 S△ADG=x ,
S△BDE/△BAC=(BD/AB) =（1-x) ,S△ABC=1 S△BDE=(1-x)
S△CFG/△CBA=(CG/AC)8=（1-x) ,S△ABC=1 S△CFG=(1-x)
∴S梯形DEFG
=S△ABC-S△ADG-S△BDE-S△CFG
=1-x -2(1-x)
=-3x +4x-1
=-3(x-2/3) +1/3,
∴当x=2/3时,即AD/AB=2/3,此时BD＜DA,梯形DEFG面积的最大值为1/3．
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