抛物线y=ax^2-2ax+m经过点A（-1,0）,与x轴另一交点为B,交y轴负半轴于C点,且S△CAB=6

(1).
对称轴x=- b/2a=-(-2a)/2a=1, ∴AB=2×2=4,∴B(3,0)
又∵S△CAB=6=½ × 4 ×OC, ∴C(0,-3)
∴把B(3,0),C(0,-3)代入y=ax²-2ax+m得
m= -3, a=1
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3
(2)在x正半轴上取一点D,使S△ACD=9
½ ×AD×3=9 ∴AD=6, ∴D(5,0),过点D作DM//AC交抛物线与点M,交y轴于点E
则kDM=kAC= -3,S△ACM=9, △ACO∽△DEO
∴OD/3=5/1 ∴OD=15
∴DM解析式为y=-3x+15
与抛物线y=x²-2x-3联立,得x²+x-18=0
x=﹙-1±√73﹚/2
∵M在y轴右侧,∴x=﹙-1＋√73﹚/2 代入y=-3x+15得y=（33-3√73）/2
∴M( ﹙-1＋√73﹚/2 ,（33-3√73）/2 )

(3)连接AC求出直线为y=-3x-3,AC中点为（-0.5,-1.5）与y= -3x-3垂直的直线为y=x/3+c.
把（-0.5,-1.5）代入求c=-3/4
得 直线y=x/3-4/3
与抛物线y=x^2-2x-3联立解得x=(7±√109）/6
代入y=x/3-4/3得y=(31±√109）/6
∴P1( (7＋√109）/6,(31+√109）/6 ), P3( (7－√109）/6,(31－√109）/6 ) )

设B点坐标为（b，0），C点坐标为（m，0）， 方程ax^2-2ax+m=0的两个根x1,2=（2a±根号下（4a的平方-4am））/2a=1±(根号下（a的平方-am))/a 抛物线过A点即3a+m=0代入x1,2=1±(根号下（a的平方-am))/a 求的x1,2=1±2 所以 B点坐标为（3，0），因为S△CAB=6，即0.5*m的绝对值*（3+1）=6 m=-3 C点坐标为...

(1)

将A(-1,0)代入解析式得m=-3a,a=-⅓m

∵m＜0,∴a＞0,B在A点右侧

由ax²-2ax-3a=0得a(x²-2x-3)=0

即a(x+1)(x-3)=0

∵a≠0,∴x1=-1,x2=3

∴B(3,0)

∴AB=4,

∵S△CAB=6=½AB•OC

∴OC=3,即m=-3

∴抛物线解析式为:y=x²-2x-3

(2)

∵S△AMC＞S△ABC

∴M在B点上方

作MD∥AC交y轴于E,CD⊥MD于D

AC=√(OA²+OC²)=√(10)...①

S△AMC=½AC•h=9

∴CD=h=18/√(10)...②

∵AC∥DE,∴∠ACO=∠CED

∴△AOC∽△COE

∴CE/CD=AC/OA

即CE=AC•CD/OA=18

易得直线AC解析式为:y=-3x-3

∴直线DE为:y=-3x-3+18=-3x+15[将AC向上平移CE,即上移18个单位]

联立y=-3x+15,y=x²-2x-3解得

x1=[-1-√(73)]/2(舍去),x2=[-1+√(73)]/2,y2=[33-3√(73)]/2

∴M([-1+√(73)]/2,[33-3√(73)]/2)

(3)

作AC中点F,作FP⊥AC,FP交抛物线于P

则F(-½,-3/2),直线PF斜率为⅓

∴PF解析式为:y=⅓x-4/3,联立抛物线y=x²-2x-3解得

x1=[7-√(109)]/6(舍去),x2=[7+√(109)]/6代入PF解析式

得y=[√(109)-17]/18

∴P([7+√(109)]/6,[√(109)-17]/18)