（2007•武汉模拟）已知数列{an}的前n项之和Sn与an满足关系式：nSn+1=（n+2）Sn+an+2

解题思路：（1）在数列中，S_n与a_n满足n=1时，S₁=a₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，所以当a₁=0时，根据nS_n+1=（n+2）S_n+a_n+2 （n∈N₊），令n=1，可求出S₂，再根据S₂=a₁+a₂，求出a₂，a₃，求法类似，这样九可求出a₂，a₃的值．
（2）要证a₁=0是数列{a_n}为等差数列的充要条件，必须证明该条件即是充分条件，又是必要条件，也即证明当a₁=0时，证明数列{a_n}为等差数列，当数列{a_n}为等差数列，证明a₁=0．证明充分性时，用数学归纳法来证，步骤，先验证n取第一个数时，命题成立，再假设n=k时，命题成立，根据已知和假设证明n=k+1时，命题成立．证明必要性时，由当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，找到数列的递推公式，再根据数列{a_n}为等差数列，a_n-a_n-1=d（n≥2），且a_n=a₁+（n-1）d，代入递推公式，化简，即可求出a₁=0．

（1）由 nS_n+1=（n+2）S_n+a_n+2（*）
变形为n（S_n+1-S_n）=2S_n+a_n+2，而S_n是{a_n}前n项和，于是有na_n+1=2S_n+a_n+2，a₁=0，
在n=1，a₂=2a₁+a₁+2=2，则a₂=2，在n=2，2a₃=2（a₁+a₂）+a₂+2=4+4=8，则a₃=4
（2）充分性：由（1）可猜测到：a_n=2n-2．下面先用数学归纳法证明：a_n=2n-2
①在n=1时，a₁=2×1-2=0 与已知 a₁=0一致 故n=1时，a_n=2n-2成立．
②假设n=k时，a_n=2n-2成立，
∴S_k=a₁+a₂+…+a_k=0+2+4+…+（2k-1）=k（k-1）
∵（*）式 na_n+1=2S_n+a_n+2恒成立，则ka_n+1=2S_k+a_k+2=2k（k-1）+（2k-2）+2=2k²
∴a_k+1=2k=2[（k+1）-1]
故n=k+1时，a_n=2n-2成立，综合①②可知：a_n=2n-2成立对n∈N*恒成立．
∴数列{a_n}的通项为a_n=2n-1，∴a_n-a_n-1=2（n≥2，n∈N₊）
由等差数列定义可知{a_n}是等差数列，从而充分性得证．
必要性：由（1）可知 na_n+1=2S_n+a_n+2恒成立，则（n-1）a_n=2S_n-1+a_n-1+2（n≥2）（**）
若{a_n}是等差数列，则a_n-a_n-1=d（n≥2），且a_n=a₁+（n-1）d．代入（**） 式中有：
n（a_n+1-a_n）=2a_n-a_n-1∴nd=a_n+d=a₁+（n-1）d+d∴a₁=0 从而必要性得证．
因此a₁=0 是数列{a_n}为等差数列的充分条件．

点评：
本题考点： 数列递推式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了由数列的前n项和与通项之间的关系，求数列中的项，以及数学归纳法的应用，属于综合题．