如图，已知x=1是方程的ax2+bx+c=0（a≠0）一个根，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，交y轴于C

解题思路：（1）把x=1代入方程可得到关于a，b，c的关系式，再把C点的坐标代入抛物线解析式和抛物线的对称轴为x=4也可得到关于a，b，c的关系式，由此可求出a，b，c的值，进而求出抛物线的解析式；
（2）易求M点的坐标，所以OM的长可求出，用圆规量取OM距离，以C为圆心，OM为半径画圆，圆弧和MN的交点即为P点；
（3）存在同时与直线OM和x轴都相切的⊙P，首先求出直线OM的解析式，设P（4．，y），若圆和直线OM和x轴都相切则⊙p的半径为y的绝对值，由此求出的值即可．

（1）∵x=1是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，
∴a+b+c=0，①
∵抛物线y=ax²+bx+c交y轴于C（0，[7/3]）点，
∴c=[7/3]，②
∵抛物线对称轴x=4，
∴x=-[b/2a]=4，③
由①②③可得：a=[1/3]，b=-[8/3]，c=[7/3]，
∴抛物线的解析式：y=[1/3]x²-[8/3] x+[7/3]；
（2）用圆规量取OM距离，以C为圆心，OM为半径画圆，圆弧和MN的交点即为P点，
∵y=[1/3]x²-[8/3] x+[7/3]，
∴顶点M坐标（4，-3），
∴OM=PC=
32+42=5，
设P（4．，y），则（4-0）²+（y-[7/3]）²=25，
解得：y=[16/3]或-[2/3]，
∴⊙P：（x-4）²+（y-[16/3]）²=25或（x-4）²+（y+[2/3]）²=25，
∴Q点的坐标为（0，[25/3]）或（0，-[11/3]）；
（3）存在同时与直线OM和x轴都相切的⊙P，
理由如下：设直线OM的解析式为y=kx，
∵M点的坐标为（4，-3），
∴y=-[3/4]x，
设P（4．，y），若圆和直线OM和x轴都相切则轴相切则⊙p的半径为y的绝对值，
∴P到OM的距离d=|[12+4y/5]|=|y|，
解得y=-[4/3]或12，
∴⊙p半径为

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题主要考查了一次函数和二次函数函数解析式的确定、勾股定理的运用、圆与直线的位置关系以及二次函数的性质等重点知识；在解题过程中要注意数形结合思想的合理应用．