已知椭圆的两焦点为F1(−3，0)，F2(3，0)，离心率e＝32．

解题思路：（1）求椭圆的方程即是求a，b两参数的值，由题设条件椭圆的两焦点为F1(−

3

，0)，F2(

3

，0)，离心率e＝

3

2

求出a，b即可得到椭圆的方程．
（2）本题中知道了直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，故可由弦长公式建立方程求出参数m的值．首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程；
（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y＝−

1

k

x+1，将此两直线方程与椭圆的方程联立，分别解出A，C两点的坐标，用坐标表示出两线段AB，BC的长度，由两者相等建立方程求参数k，由解的个数判断三角形的个数即可．

（1）设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0），…（1分）
则c＝
3，
c
a＝

3
2，…（2分）∴a=2，b²=a²-c²=1…（3分）
∴所求椭圆方程为
x2
4+y2＝1．…（4分）
（2）由

y＝x+m
x2+4y2＝4，消去y，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，…（6分）
则△=64m²-80（m²-1）＞0得m²＜5（*）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2＝−
8m
5，x1x2＝
4(m2−1)
5，y₁-y₂=x₁-x₂，…（7分）
|PQ|＝
(x1−x2)2+(y1−y2)2＝
2[(−
8m
5)2−
16(m2−1)
5]＝2…（9分）
解得.m2＝
15
8，满足（*）
∴m＝±

30
4．…（10分）
（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直
或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方
程为y＝−
1
kx+1，由

y＝kx+1
x2+4y2＝4，得A(−
8k
1+4k2，−
8k2
1+4k2+1)，…（11分）
∴|AB|＝
(−
8k
1+4k2)2+(−
8k2
1+4k2)2＝
8|k|
1+k2
1+4k2，…（12分）
用−
1
k代替上式中的k，得|BC|＝
8
1+k2
4+k 2，
由|AB|=|BC|，得|k|（4+k²）=1+4k²，…（13分）
∵k＜0，
∴解得：k=-1或k＝
−3±
5
2，
故存在三个内接等腰直角三角形．…（14分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆锥曲线位置关系中的相关的知识，如本题中求解的重点是弦长公式的熟练掌握运用，依据条件进行正确转化，分析出建立方程的依据很关键，如本题第二小题利用弦长公式建立方程求参数，第三小题中利用等腰三角形的性质转化为两弦长AB与BC相等，由此关系得到斜率k所满足的方程，将求解有几个三角形的问题转化为关于k的方程有几个根的问题，此类问题中正确转化，充分利用等量关系是解题的重中之重．本题中转化灵活，运算量大，且比较抽象，易出错，做题时要严谨认真．