已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左焦点为F，动直线x=m（|m|＜a）与E

解题思路：（Ⅰ）由题意设M（x，y），P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），由已知条件推导出M的轨迹M（x，y）的轨迹方程为

x2

a2

−

y2

b2

＝1，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将AB：x=my-1代入椭圆方程得（m²+2）y²-2my-1=0，由此利用换元法和导数性质能求出

|AB|

|CD|

的取值范围．

（Ⅰ）由题意设M（x，y），P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），
则A1P：y＝
y0
x0+a(x+a)（1），A2Q：y＝
−y0
x0−a(x−a)（2），
将方程（1）（2）相乘得y2＝−
y02
x02−a2(x2−a2)…（3分）
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，
∴y02＝
b2
a2(a2−x02)，
代入上式，得y2＝
b2
a2(x2−a2)，
∴M（x，y）的轨迹方程为
x2
a2−
y2
b2＝1．
又∵M的轨迹在双曲线
x2
2−y2＝1上，
∴所求的椭圆方程为
x2
2+y2＝1．…（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将AB：x=my-1代入椭圆方程得（m²+2）y²-2my-1=0，
∴|AB|＝
1+m2|y1−y2|＝

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查两条线段比值的取值范围的求法，解题时要注意导数性质的合理运用．