把两个直角边长均为6的等腰直角三角板ABC和EFG叠放在一起（如图①），使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中
把两个直角边长均为6的等腰直角三角板ABC和EFG叠放在一起（如图①），使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）探究：在上述旋转过程中，BH与CK的数量关系以及四边形CHGK的面积的变化情况（直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）；
（2）利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接HK，在上述旋转过程中，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的[5/12]？若存在，求出此时BH的长度；若不存在，说明理由．
（1）探究：在上述旋转过程中，BH与CK的数量关系以及四边形CHGK的面积的变化情况（直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）；
（2）利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接HK，在上述旋转过程中，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的[5/12]？若存在，求出此时BH的长度；若不存在，说明理由．
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解题思路：（1）先由ASA证出△CGK≌△BGH，再根据全等三角形的性质得出BH=CK，根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半；
（2）根据面积公式得出S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=[1/2]x2-3x+9，根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的[5/12]，代入得出方程
x2−3x+9＝
×
×6×6，求出即可．
（2）根据面积公式得出S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=[1/2]x2-3x+9，根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的[5/12]，代入得出方程
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（1）BH与CK的数量关系：BH=CK，理由是：
连接OC，由直角三角形斜边上中线性质得出OC=BG，
∵AC=BC，O为AB中点，∠ACB=90°，
∴∠B=∠ACG=45°，CO⊥AB，
∴∠CGB=90°=∠KGH，
∴都减去∠CGH得：∠BGH=∠CGK，
在△CGK和△BGH中
∵
∠KCG＝∠B
CG＝BG
∠KGC＝∠BGH，
∴△CGK≌△BGH（ASA），
∴CK=BH，即BH=CK；
四边形CHGK的面积的变化情况：四边形CHGK的面积不变，始终等于四边形CQGZ的面积，即等于△ACB面积的一半，等于9；
（2）假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的[5/12]的位置．
设BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB-BH=6-x，
∴S△CHK=[1/2]CH×CK=3x-[1/2]x2，
∴S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=9-（3x-[1/2]x2）=[1/2]x2-3x+9，
∵△GKH的面积恰好等于△ABC面积的[5/12]，
∴[1/2]x2-3x+9=[5/12]×[1/2]×6×6，
解得x 1＝3+
6，x2＝3−
6（经检验，均符合题意）．
∴存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的[5/12]的位置，此时x的值为
点评：
本题考点： 旋转的性质；一元二次方程的应用；三角形的面积；等腰直角三角形．
考点点评： 本题考查了旋转的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，但是一道比较好的题目．
1年前
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