（2013•宜宾二模）已知函数ft（x）=11+x−1(1+x)2（t-x），其中t为正常数．

解题思路：（Ⅰ）求导数，确定f_t（x）在区间（0，t）上单调递增，在区间（t，+∞）上单调递减，从而可求函数f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）（1）证明数列{a_n-1}为等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）证法一：从已有性质结论出发；证法二：作差比较法，即可得到结论；
（Ⅲ）证法一：从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩；证法二：应用柯西不等式实现结构放缩，即可得到结论．

（Ⅰ）由ft(x)＝
1
1+x−
1
(1+x)2(t−x)，可得ft′(x)＝
2(t−x)
(1+x)3(x＞0)，…（2分）
所以，ft′(x)＞0⇔0＜x＜t，ft′(x)＜0⇔x＞t，…（3分）
则f_t（x）在区间（0，t）上单调递增，在区间（t，+∞）上单调递减，
所以，ft(x)max＝ft(t)＝
1
1+t．…（4分）
（Ⅱ）（1）由3a_n+1=a_n+2，得an+1−1＝
1
3(an−1)，又a1−1＝
2
3，
则数列{a_n-1}为等比数列，且an−1＝
2
3•(
1
3)n−1＝
2
3n，…（5分）
故an＝
2
3n+1＝
2+3n
3n为所求通项公式．…（6分）
（2）证明：即证对任意的x＞0，
1
an≥f
2
3n(x)＝
1
1+x−
1
(1+x)2(
2
3n−x)（n∈N^*）…（7分）
证法一：（从已有性质结论出发）
由（Ⅰ）知f
2
3n(x)max＝f
2
3n(
2

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查数列的通项，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，难度大．