已知半球O的半径为1，它的内接长方体ABCD-A1B1C1D1的一个面ABCD在半球O的底面上，则该长方体ABCD-A1

解题思路：连接OA₁，OA，令OA₁与底面的夹角为α，则可用球的半径与α的三角函数值将棱柱的高与底面边长表示出来，由此可以将棱柱的体积表示成解α的函数，求这个三角函数的最大值即可得到该正四棱柱体积的最大值

令球心为O，底面边长为a，连接OA₁，OA，令OA₁与底面的夹角为α，则OA₁=1，则棱柱的高是sinα，底面正方形的对角线长的一半是cosα，即 2a=2cosα，由此得底面边长是 2cosα
故正四棱柱的体积是V=2cos2α×sinα=2cos2αsinα
V'=2（-2cosαsin2α+cos3α）=2osα（-2+3cos2α）
令V'=0，可以解得cosα=0，舍，或cos2α=23，即sin2α=13，sinα=33
由此知正四棱柱体积的最大值为V=
4
3
9，
故答案为：
4
3
9

点评：
本题考点： 球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，求解本题关键是建立三角函数模型将正四棱柱体积用三角函数模型表示出来，然后借助导数研究出三角函数的最大值得出体积的最大值来，本题属于三角函数模型在求面积中的应用，根据题意建立适当的模型是解决一个实际问题的关键，学习时要注意积累此类题中模型的建立方法．