线性代数：矩阵多项式问题.设n>=2,问是否存在一个n阶方阵A,使所有的n阶方阵B都可以写为A的多项式:a(0)I+a(

线性代数：矩阵多项式问题.
设n>=2,问是否存在一个n阶方阵A,使所有的n阶方阵B都可以写为A的多项式:a(0)I+a(1)A+...+a(m)A^m,其中m为任意正整数,理由?

charlie86z 1年前已收到2个回答举报

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梅花烙印jan 幼苗

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似乎不行
n阶方阵构成的线性空间是n^2 维的,
若有这样的A,则 E,A,A^2,...,A^(n^2-1) 必线性无关,才能保证所有n阶方阵可由它们线性表示.
但A的特征多项式就是A的零化多项式,即E,A,A^2,...,A^n 线性相关.

1年前

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liyulg 幼苗

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显然不存在。
假定存在这样的矩阵A，对任何矩阵B都存在多项式p使得B=p(A)，则AB=BA，然而与所有矩阵都可交换的矩阵是纯量阵，即A=cI，于是A只能用来生成纯量阵，矛盾。

1年前

6

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你能帮帮他们吗

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