（2012•徐汇区一模）对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都
（2012•徐汇区一模）对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．
（1）求证：函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数；
（2）设f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切的x∈R恒成立，求实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=mx+
是区间[-2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的值．
（1）求证：函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数；
（2）设f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切的x∈R恒成立，求实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=mx+
| x2+2x+n |
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（1）当x∈[1，3]时，f1（x）=x-1+3-x=2，
当x∉[1，3]时，f1（x）=|x-1|+|x-3|＞|x-1+3-x|=2
故存在闭区间[a，b]=[1，3]⊆R和常数C=2符合条件，…（4分）
所以函数f1（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数…（5分）
（2）因为不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，
所以|t-1|+|t-2|≤f（x）min…（7分）
由（1）可知f（x）min=（|x-1|+|x-3|）min=2…（8分）
所以|t-1|+|t-2|≤2…（9分）
解得：[1/2≤t≤
5
2]…（11分）
（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+
x2+2x+n=c，即
x2+2x+n=c-mx
所以x2+2x+n=（c-mx）2恒成立，即x2+2x+n=m2x2-2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立…（13分）
所以
m2=1
-2cm=2
c2=n，所以
m=1
c=-1
n=1或
m=-1
c=1
n=1…（14分）
①当
当x∉[1，3]时，f1（x）=|x-1|+|x-3|＞|x-1+3-x|=2
故存在闭区间[a，b]=[1，3]⊆R和常数C=2符合条件，…（4分）
所以函数f1（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数…（5分）
（2）因为不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，
所以|t-1|+|t-2|≤f（x）min…（7分）
由（1）可知f（x）min=（|x-1|+|x-3|）min=2…（8分）
所以|t-1|+|t-2|≤2…（9分）
解得：[1/2≤t≤
5
2]…（11分）
（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+
x2+2x+n=c，即
x2+2x+n=c-mx
所以x2+2x+n=（c-mx）2恒成立，即x2+2x+n=m2x2-2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立…（13分）
所以
m2=1
-2cm=2
c2=n，所以
m=1
c=-1
n=1或
m=-1
c=1
n=1…（14分）
①当
1年前
7
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