已知函数f（x）= 1 x-1 ，各项均为正数的数列{a n }满足a n+2 =f（a n ），若a 2011 =a

∵知函数f（x）=
1
x-1 ，各项均为正数的数列{a _n }满足a _n+2 =f（a _n ），
∴a _n+2 =
1
a n -1 ，
取n=2011，a ₂₀₁₁ =a ₂₀₁₃ ，a _n+2 =
1
a n -1 ，
可得a ₂₀₁₃ =
1
a 2011 -1 =a ₂₀₁₁ ，所以（a ₂₀₁₁ ） ² -a ₂₀₁₁ -1=0，
∴a ₂₀₁₁ 是方程x ² -x-1=0的根，a ₂₀₁₁ ＞0
∴a ₂₀₁₁ =

5 +1
2 ，
∵a _n+2 =
1
a n -1 ，
∴a ₂₀₀₉ =
1
a 2011-1 =
1


5 +1
2 -1 =
2(
5 +1)
4 =

5 +1
2 ，
a ₂₀₀₇ =
1
a 2009 -1 =

5 +1
2
a ₂₀₀₆ =
1
a 2007 -1 =

5 +1
2
依此类推可得
∴a ₁ =
1
a 2 -1 =

5 +1
2
故答案为：

5 +1
2 ；