十万火急!f(x)=alnx（x＞1,a∈R）,g(x)=x³+4x²（x≤1）已知：分别存在P,Q

这么解肯定有问题,因为你不能假设 a > ½；如果要用反证法,你只能假设a ≤ ½
假设a > ½,那你用的是逆命题；逆命题成立,原命题不一定成立
首先说说题目,和我的做法
前面的步骤和你相同,得到a=1/(4 - x)lnx,x的范围是x > 1
那么,当x > 4的时候,a是负的,怎么会有a > ½的结论呢……
除非题目说明当a > 0的时候,进一步求证a > ½
因此,x < 4
下面再继续做
然后,只需证明lnx(4 - x) < 2,1 < x < 4
即证 lnx < 2/(4 - x), 1 < x < 4
即证 lnx + 2/(x - 4) < 0, 1 < x < 4
令 h(x) = lnx + 2/(x - 4), 1 < x < 4
则 h'(x) = 1/x - 2/(x - 4)² = (x-2)(x-8) / x(x - 4)²
1 < x < 2 时 h'(x) > 0；2 < x < 4 时 h'(x) < 0
∴ h(x)在(1, 2)递增,在(2, 4)递减
∴ h(x)的最大值为h(2) = ln2 - 1 < 0
∴ lnx + 2/(x - 4) < 0,当1 < x < 4时成立
∴ a > ½
说明一下,直接求lnx(4 - x)的值域,貌似难度是比较大的；手算好像根本算不出来极大值点,而本题是一个证明题,为了证明最后的结论,只需等价转换即可,求值域是一种转换的方式；把要证明的结论转化为另一种好求导的函数,也是一种转化方式