如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），点B在x轴的正半轴上， 点M在y轴的负半轴上，且|AB|=6，co

（1）易知A（-2，0），B（4，0），C（0，8）．
设抛物线的函数表达式为y=a（x+2）（x-4）．
将C（0，8）代入，得a=-1．
∴过A、B、C三点的抛物线的函数表达式为：y=-x ² +2x+8．
y=-x ² +2x+8=-（x-1） ² +9，
∴顶点为D（1，9）．

（2）如图1，假设存在满足条件的点P，依题意，设P（2，t）．
由C（0，8），D（1，9）得直线CD的函数表达式为：y=x+8．
设直线CD交x轴于点E，则E（-8，0）．
∴CO=8=OE，∴∠DEO=45°．
设OB的中垂线交CD于H，交x轴于点G．
∴在Rt△HPF中，∠FHP=45°=∠HPF．
点P到CD的距离PF=

2
2 |10-t|．
又PO=
t 2 + 2 2 =
t 2 +4 ．
∵PF=PO，
∴
t 2 +4 =

2
2 |10-t|．
化简，得t ² +20t-92=0，
解得t=-10± 8
3 ．
∴存在点P ₁ （2，-10+ 8
3 ），P ₂ （2，-10- 8
3 ）满足条件．

（3）如图2，过点N作直线NQ ∥ x轴交CD于点Q．设N（k，-k ² +2k+8）．
∵直线CD的函数表达式为y=x+8，
∴Q（-k ² +2k，-k ² +2k+8）．
∴QN=|-k ² +2k-k|=-k ² +k．
S _△CND =S _△NQD +S _△NQC
=
1
2 NQ•|y _D -y _Q |+
1
2 NQ•|y _Q -y _C |
=
1
2 （-k ² +k）•|9-（-k ² +2k+8）|+
1
2 （-k ² +k）•|-k ² +2k+8-8|
=
1
2 （-k ² +k）（9+k ² -2k-8-k ² +2k）
=
1
2 （-k ² +k）．
而S _{四边形NCOD} =S _△CND +S _△COD
=
1
2 （-k ² +k）+
1
2 CO•|x _D |
=
1
2 （-k ² +k）+
1
2 × 8×1
=-
1
2 k ² +
1
2 k+4
=-
1
2 （k-
1
2 ） ² +
33
8 ．
∴当k=
1
2 时，四边形面积的最大为
33
8 ，
此时N（k，-k ² +2k+8）点坐标为：（
1
2 ，
35
4 ）．

1年前