（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，∠ACB=90°，AC=BC=CC 1 =2.

（I）证明见解析
（II）
（III）

（法一）
（1）证：连B ₁ C∵平面ABC⊥平面BCC ₁ B ₁
又AC⊥BC∴AC⊥面BCC ₁ B ₁ ∴B ₁ C为AB ₁ 在面BCC ₁ B ₁ 内的射影
又BC=BB ₁ ="2" ∴四边形BCC ₁ B ₁ 为正方形
∴B ₁ C ⊥ BC ₁ ∴AB ₁ ⊥ BC ₁ …………………… ……………………………4分
（2）∵BC∥B ₁ C ₁
∴C到面AB ₁ C ₁ 的距离即为B到面AB ₁ C ₁ 的距离
∵平面A ₁ B ₁ C ₁ ⊥平面ACC ₁ A ₁
又B ₁ C ₁ ⊥A ₁ C ₁ ∴B ₁ C ₁ ⊥平面ACC ₁ A ₁ ∴平面AB ₁ C ₁ ⊥平面ACC ₁ A ₁
连A ₁ C∩AC ₁ ="O"
∵四边形ACC ₁ A ₁ 为正方形∴CO⊥面AB ₁ C ₁
∴CO即为所求 ∴CO= ∴B到面AB ₁ C ₁ 的距离为 ………………………8分
（3）由（2）得 A ₁ O⊥面AB ₁ C ₁
过O做OE⊥AB ₁ 于E 连A ₁ E由三垂线定理有A ₁ E⊥AB ₁
∴∠A ₁ EO为二面角C ₁ -AB ₁ -A ₁ 的平面角
又在Rt⊿A ₁ OE中，A ₁ O= OE=
∴tan∠A ₁ EO= ∴∠A ₁ EO=
∴二面角C ₁ -AB ₁ -A ₁ 的大小为 …………………………………………12分
（法二）（1）建立直角坐标系，其中C为坐标原点.
依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B ₁ （0，2，2），[来源:学科网]
C ₁ （0，0，2），因为 ，所以A B ₁ ⊥BC ₁ . ……………4分
（2）设 是平面AB ₁ C ₁ 的法向量，
由 得
所以 令 ，则 ，
因为 ，所以，B到平面AB ₁ C ₁ 的距离为 .… …………8分
（3）设 是平面A ₁ AB ₁ 的法向量.由
令 =1，
则
因为 所以，二面角C ₁ —AB ₁ —A ₁ 的大小为60°… 12分