（2013•重庆）对正整数n，记I n ={1，2，3…，n}，P n ={ |m∈I n ，k∈I n }．

（1）46（2）n的最大值为14

（1）对于集合P ₇ ，有n=7．当k=4时，P _n ={ |m∈I _n ，k∈I _n }中有3个数（1，2，3）与
I _n ={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得
集合P ₇ 中元素的个数为 7×7﹣3=46．
（2）先证当n≥15时，P _n 不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=P _n ⊇I _n ．
不妨设1∈A，则由于1+3=2 ² ，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=4 ² ，
这与A为稀疏集相矛盾．
再证P ₁₄ 满足要求．当k=1时，P ₁₄ ={ |m∈I ₁₄ ，k∈I ₁₄ }=I ₁₄ ，可以分成2个稀疏集的并集．
事实上，只要取A ₁ ={1，2，4，6，9，11，13}，B ₁ ={3，5，7，8，10，12，14}，则A ₁ 和B ₁ 都是稀疏集，且A ₁ ∪B ₁ =I ₁₄ ．
当k=4时，集合{ |m∈I ₁₄ }中，除整数外，剩下的数组成集合{ ， ， ，…， }，可以分为下列3个稀疏集的并：
A ₂ ={ ， ， ， }，B ₂ ={ ， ， }．
当k=9时，集合{ |m∈I ₁₄ }中，除整数外，剩下的数组成集合{ ， ， ， ，…， ， }，
可以分为下列3个稀疏集的并：
A ₃ ={ ， ， ， ， }，B ₃ ={ ， ， ， ， }．
最后，集合C═{ |m∈I ₁₄ ，k∈I ₁₄ ，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，
它与P _n 中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A ₁ ∪A ₂ ∪A ₃ ∪C，B=B ₁ ∪B ₂ ∪B ₃ ，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P ₁₄ ．
综上可得，n的最大值为14．