（2014•潍坊模拟）已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）的导函数g′（x）=ex，且g（0）g′（1）=e，其

解题思路：（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，求出导数f'（x）=a+[1/x]，分a≥0，a＜0两种情况进行讨论，a≥0时由单调性易判断；当a＜0时可得极值；
（Ⅱ）由g'（x）=e^x，可设g（x）=e^x+c，再由g（0）g'（1）=e可得g（xg(x)＜

x−m+3

x

成立，分离出参数m后可得m＜x−ex

x

+3，令h(x)＝x−ex

x

+3，则问题可转化为：m＜h（x）_max，利用导数可求得h（x）_max；
（Ⅲ）a=0时，f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）-f（x）-2，则φ（x）=e^x-lnx-2，φ′(x)＝ex−

1

x

，且φ'（x）在（0，+∞）上为增函数，设φ'（x）=0的根为x=t，则et＝

1

t

，即t=e^-t，易知φ（x）的最小值为φ（t），通过放缩可判断φ（t）＞0，从而可得结论；

（Ⅰ） 函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝a+
1
x（x＞0）．
当a≥0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）没有极值；
当a＜0时，f′(x)＝
a(x+
1
a)
x，
若x∈(0，−
1
a)时，f'（x）＞0；若x∈(−
1
a，+∞)时，f'（x）＜0，
∴f（x）存在极大值，且当x＝−
1
a时，f(x)极大＝f(−
1
a)＝ln(−
1
a)−1；
综上可知：当a≥0时，f（x）没有极值；当a＜0时，f（x）存在极大值，且当x＝−
1
a时，f(x)极大＝f(−
1
a)＝ln(−
1
a)−1；
（Ⅱ）∵函数g（x）的导函数g'（x）=e^x，
∴g（x）=e^x+c，
又∵g（0）g'（1）=e，
∴（1+c）e=e⇒c=0，∴g（x）=e^x，
∵∃x∈（0，+∞），使得不等式g(x)＜
x−m+3

x成立，
∴∃x∈（0，+∞），使得m＜x−ex
x+3成立，
令h(x)＝x−ex
x+3，则问题可转化为：m＜h（x）_max，
对于h(x)＝x−ex
x+3，x∈（0，+∞），由于h′(x)＝1−ex(

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的极值、最值及证明不等式等问题，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生的推理论证能力、分析解决问题的能力，本题综合性强，能力要求较高．