在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，-3），（0，3）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线y=kx+1与曲线C

解题思路：（Ⅰ）直接由椭圆的定义可得曲线C的方程；（Ⅱ）设出直线y=kx+1与曲线C的两个交点的坐标A（x1，y1），B（x2，y2），把直线方程和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，由∠AOB是锐角，得到x1x2+y1y2＞0，转化为只含横坐标的表达式后代入根与系数关系，整理后即可求得k的取值范围．

（Ⅰ）由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以(0，−
3)，(0，
3)为焦点，长半轴为2的椭圆．
它的短半轴b＝
22−(
3)2＝1，故曲线C的方程为：x2+
y2
4＝1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

y＝kx+1
4x2+y2＝4．
消去y得，（k²+4）x²+2kx-3=0．
△=4k²-4（k²+4）（-3）=16k²+48＞0，
x1+x2＝−
2k
k2+4，x1x2＝−
3
k2+4．
若∠AOB是锐角，则

OA•

OB＞0，即x₁x₂+y₁y₂＞0，
而y1y2＝(kx1+1)(kx2+1)＝k2x1x2+k(x1+x2)+1=
4−4k2
k2+4．
于是x1x2+y1y2＝−
3
k2+4+
4−4k2
k2+4＞0．
所以−
1
2＜k＜
1
2．

点评：
本题考点： 圆锥曲线的轨迹问题；球的体积和表面积．

考点点评： 本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了数学转化思想方法，训练了一元二次方程的根与系数的关系，解答的关键是把∠AOB是锐角转化为两个交点坐标间的关系，是中高档题．