在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相
在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点 E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点 E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由．
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解题思路：（1）由在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，∠BPC=90°，易证得△ABP∽△DPC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得此时PC的长；
（2）首先过点F作FG⊥AD于点G．易证得△APE∽△GFP，然后由相似三角形的对应边成比例，易求得tan∠PEF=
＝2．即可得∠PEF的大小不发生变化．
（2）首先过点F作FG⊥AD于点G．易证得△APE∽△GFP，然后由相似三角形的对应边成比例，易求得tan∠PEF=
| PF |
| PE |
（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=
5，∠ABP+∠APB=90°．
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°．
∴∠ABP=∠DPC．
∴△ABP∽△DPC．
∴[AP/CD＝
PB
PC]，
即
1
2＝
5
PC．
∴PC=2
5；
（2）∠PEF的大小不变．
理由：过点F作FG⊥AD于点G．
∴四边形ABFG是矩形．
∴∠A=∠AGF=90°．
∴GF=AB=2，∠AEP+∠APE=90°．
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°．
∴∠AEP=∠GPF．
∴△APE∽△GFP，
∴
PF
PE＝
GF
AP＝
2
1＝2．
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=
PF
PE＝2．
即tan∠PEF的值不变．
∴∠PEF的大小不变．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质．
考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
1年前
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