已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1 (a＞b＞0)的离心率为53，定点M（2，0），椭圆短轴的端点

（Ⅰ）由 [5/9＝e2＝
a2−b2
a2＝1−
b2
a2]，得 [b/a＝
2
3]．…（2分）
依题意△MB₁B₂是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．…（4分）
所以椭圆C的方程是
x2
9+
y2
4＝1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 （4m²+9）y²+16my-20=0．…（7分）
所以 y1+y2＝
−16m
4m2+9，y1y2＝
−20
4m2+9．…（8分）
若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k_PA+k_PB=0．…（9分）
设P（a，0），则有
y1
x1−a+
y2
x2−a＝0．
将 x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得
2my1y2+(2−a)(y1+y2)
(my1+2−a)(my2+2−a)＝0，
所以 2my₁y₂+（2-a）（y₁+y₂）=0．…（12分）
将 y1+y2＝
−16m
4m2+9，y1y2＝
−20
4m2+9代入上式，整理得 （-2a+9）•m=0．…（13分）
由于上式对任意实数m都成立，所以 a＝
9
2．
综上，存在定点P(
9
2，0)，使PM平分∠APB．…（14分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查存在性问题的探究，属于中档题．

1年前

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