已知函数f（x）=[1/3]x3-x，数列{an}满足条件：a1≥1，an+1≥f′（an+1），

（1）证明：∵f′（x）=x²-1，∴a_n+1≥a_n²+2a_n…（2分）
1）当n=1时，a₁≥1=2¹-1，命题成立； …（3分）
2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即a_k≥2^k-1；
那么当n=k+1时，a_k+1≥a_k²+2a_k=a_k（a_k+2）=2^2k-1≥2^k+1-1…（6分）
即当n=k+1时，命题成立；
所以，综上所述，命题成立…（7分）
（2）∵a_n≥2ⁿ-1，∴1+a_n≥2ⁿ，∴
1
1+an≤
1
2n，∴
1
1+a1+
1
1+a2+…+
1
1+an≤
1/2+
1
22+…+
1
2n＝1−
1
2n＜1…（12分）

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 本题主要考查与数列有关的不等式的证明问题，考查了数学归纳法及放缩法的证明，有一定的综合性．

1年前

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