已知函数f（x）=[1/2]x2+alnx（a∈R）．

解题思路：（Ⅰ）函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b可知：f′(2)＝2+

a

2

＝1，f（2）=2+aln2=2+b，可解ab的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，则f′(x)＝x+

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立，分离变量可求a的范围．

（Ⅰ）已知函数f（x）=[1/2]x²+alnx，则导数f′(x)＝x+
a
x
函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b可知：
f′(2)＝2+
a
2＝1，f（2）=2+aln2=2+b，解得a=-2，b=-2ln2
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，
则f′(x)＝x+
a
x≥0在（1，+∞）上恒成立，分离变量得
a≥-x²，而（-x²）在x∈（1，+∞）恒小于-1，即得a≥-1
故a的取值范围为：a≥-1．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题为导数与函数的综合应用，正确理解在某点处的切线斜率即是改点的导数值是解决问题的关键，属中档题．

（1）求导f'(x)=x-a/x，因为在X=2处的切线方程为Y=x+b，所以2-a/2=1，a=2
（2）函数f（x）在（1，正无穷）上是增函数，即当x>1时，x-a/x>0, 即x^2-a>0.即a1，所以a<1

求导，f'(x)=x-a/x,x=1时，导数为0，解得a=1，因此a＜1时f（x）在（1，+无穷）上是增函数

这网上还有问这类问题的，，我相当无语啊。。看来网民的知识层阶并不太高