已知点A（-1，-1）在抛物线y=（k2-1）x2-2（k-2）x+1（其中x是自变量）上．

解题思路：（1）把点A坐标代入抛物线解析式，计算求出k的值，再根据抛物线对称轴x=-[b/2a]进行计算即可得解；
（2）先根据对称性求出点B的坐标，再分直线过点B且与y轴平行时，与抛物线只有一个交点，直线过点B不与y轴平行时，设直线解析式为y=mx+n，把点B的坐标代入解析式得到一个关于m、n的方程，再与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，根据只有一个交点，利用根的判别式△=0，列式整理得到一个关于m、n的方程，两个方程联立求解即可得到m、n的值，从而求出直线解析式．

（1）已知点A（-1，-1）在已知抛物线上，
则（k²-1）+2（k-2）+1=-1，
即k²+2k-3=0，
解得 k₁=1，k₂=-3，…分
当k=1时，函数y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1为一次函数，不合题意，舍去，
当k=-3时，抛物线的解析式为y=8x²+10x+1，…（4分）
由抛物线的解析式知其对称轴为x=-[b/2a]=-[10/2×8]=-[5/8]，
即x=-[5/8]；…（5分）
（2）存在．
理由如下：∵点B与点A关于y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1对称，且A（-1，-1），
∴B（-[1/4]，-1），…（6分）
当直线过B（-[1/4]，-1）且与y轴平行时，此直线与抛物线只有一个交点，
此时的直线为x=-[1/4]，…（8分）
当直线过B（-[1/4]，-1）且不与y轴平行时，
设直线y=mx+n与抛物线y=8x²+10x+1只交于一点B，
则-[1/4]m+n=-1，…（10分）
即m-4n-4=0，①
把y=mx+n代入y=8x²+10x+1，得8x²+10x+1=mx+n，…（11分）
即8x²+（10-m）x+1-n=0，…（12分）
由8x²+（10-m）x+1-n=0，△=0，得（10-m）²-32（1-n）=0，②
由①，②得

m＝6
n＝
1
2
故所求的直线为y=6x+[1/2]，
综上所述，存在与抛物线只交于一点B的直线x=-[1/4]或y=6x+[1/2]．…（14分）

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴的求解，抛物线与直线的交点问题，以及根的判别式的应用，本题主要要分情况讨论．

把A点带入进去求出k的值，这样你就知道了抛物线的解析式，然后根据对称轴=-b/2a得到对称轴。

将A（-1,-1）带入抛物线方程中
-1=(k^2-1)-2(k-2)*(-1)+1
k^2+2k-3=0
(k+3)(k-1)=0
k=-3或1
当k=1时，y=2x+1是直线方程不符
所以k=-3,此时y=8x^2+10x+1
(2)该抛物线的对称轴是x=-b/(2a)=-5/8
A(-1,-1)与B关于对称轴对称