函数f（x）=sin（[1/2]x+[π/3]），x∈[-2π，2π]．

解题思路：（1）整体法，由−

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ解不等式和A=[-2π，2π]取交集可得；
（2）由−π+2kπ≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ解不等式和A=[-2π，2π]取交集可得答案．

（1）令z＝
1
2x+
π
3，
函数y=sinz的单调递增区间是[−
π
2+2kπ，
π
2+2kπ]，k∈Z，
由−
π
2+2kπ≤
1
2x+
π
3≤
π
2+2kπ，得−
5π
3+4kπ≤x≤
π
3+4kπ，k∈Z，
设A=[-2π，2π]，B＝{x|−
5π
3+4kπ≤x≤
π
3+4kπ，k∈Z}，
可得A∩B＝[−
5π
3，
π
3]，∴f（x）的单调递增区间为[−
5π
3，
π
3]；
（2）若sinz≤0，则z∈[-π+2kπ，2kπ]，k∈Z，
由−π+2kπ≤
1
2x+
π
3≤2kπ，得−
8π
3+4kπ≤x≤−
2π
3+4kπ，k∈Z，
令C＝{x|−
8π
3+4kπ≤x≤−
2π
3+4kπ，k∈Z}，
可得A∩C＝[−2π，−
2π
3]∪[
4π
3，2π]
∴使得f（x）≤0的x的取值集合为[−2π，−
2π
3]∪[
4π
3，2π]

点评：
本题考点： 复合三角函数的单调性．

考点点评： 本题考查三角函数的单调性和取值范围，属基础题．

单调增区间是:
2kPai-Pai/2<=x/2+Pai/3<=2kPai+Pai/2
即有4kPai-5Pai/3<=x<=4kPai+Pai/3
x属于(-2Pai,2Pai),故单调增区间是[-5Pai/3,Pai/3]
2.f(x)<=0
那么有2kPai+Pai<=x/2+Pai/3<=2kPai+2Pai
即有:4kPai+4Pai/3<=x<=4kPai+10Pai/3