求高中数学大题见http://zhidao.baidu.com/question/166175070.html

1．已知：如图,长方体ABCD— 中,AB=BC=4, ,E为 的中点, 为下底面正方形的中心.求：（I）二面角C—AB— 的正切值；
（II）异面直线AB与 所成角的正切值；
（III）三棱锥 ——ABE的体积.
（Ⅰ）取上底面的中心 ,作 于 ,连 和 ．
由长方体的性质,得 平面 ,由三垂线定理,
得 ,则 为二面角 的平面角
．
在 中,
（Ⅱ）取 的中点G,连 和 ．
易证明 ,则 为所求
． ．
在 中,
（Ⅲ）连 , ,由 易证明 平面 ．

∴
2．已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大.现有以下两种设计,如图：

图①的过水断面为等腰△ABC,AB=BC,过水湿周
图②的过水断面为等腰梯形 ‖ ,过水湿周 .若 与梯形ABCD的面积都为S,
（I）分别求 的最小值；
（II）为使流量最大,给出最佳设计方案.
解（Ⅰ）在图①中,设 , ．
则 ．由于 、 、 皆为正值,可解得 ．
当且仅当 ,即 时取等号．
所以 ．
在图②中,设 , ． 可求得
,
解得 ．
．
当且仅当 ,即 时取等号．
（Ⅱ）由于 ,则 的最小值小于 的最小值．
所以在方案②中当 取得最小值时的设计为最佳方案．
3．已知：如图,射线OA为y=2x(x>0),射线OB为y= –2x(x>0),动点P（x, y）在 的内部, 于N,四边形ONPM的面积为2..
（I）动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数,求这个函数y=f(x)的解析式；
（II）确定y=f(x)的定义域.
（Ⅰ）设 , ．
则 ,
由动点 在 的内部,得 ．
∴ ,
∴

∴ ①
又 ,
分别解得 ,
代入①式消去 、 ,并化简得 ．
∵ ,∴ ．
（Ⅱ）由 在 内部,得 ．
又垂足 必须在射线 上,否则 、 、 、 四点不能构成四边形,所以还必须满足条件
∴
所以 的定义域为
4．如图,平行六面体ABCD－A'B'C'D'中,AC＝2 ,BC＝AA'＝A'C＝2,∠ABC＝90°,点O是点A'在底面ABCD上的射影,且点O恰好落在AC上.
（1）求侧棱AA'与底面ABCD所成角的大小；
（2）求侧面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值；
（3）求四棱锥C－A'ADD'的体积.
（I）连 ,则 平面 于
∴ 就是侧棱 与底面 所成的角

在 中,

∴ 是等腰直角三角形
∴ ,即侧棱 与底面 所成角为45°,
（II）在等腰 中, ,∴ ,且O为AC中点,
过O作 于E,连 .∵ 平面ABCD于O,
由三垂线定理,知 ,
∴∠ 是侧面 与底面ABCD所成二面角的平面角.
∵∠ABC= , ,∴底面ABCD是正方形.
∴ . 在 中, .
即所求二面角的正切值为 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知, .
∴ .
∵ ,∴ .
∵ ,∴平面 ,它们的交线是 .
过O作 ,则 .
.
又∵ 的中点,∴点C到平面 的距离 .
∴ .
另 .
5．已知数列{an}满足a1＝2,对于任意的n∈N,都有an＞0,
且(n＋1)a ＋anan＋1－na ＝0,又知数列{bn}:b1＝2n－1＋1
(1)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)猜想Sn和Tn的大小关系,并说明理由.
（Ⅰ）∵
∴ .
∴
∴ ,∴ . 即 .
∴ .
∴ ,∴又 ,∴ .
∴ .
（Ⅱ）∵ ,
∴
.
（Ⅲ）
当 时, ,∴ ；
当 时, ,∴ ；
当 时, ,∴ ；
当 时, ,∴ ；
当 时, ,∴ ；
当 时, ,∴ .
猜想：当 时, . 即 .亦即 .
下面用数学归纳法证明：
当 时,前面已验证成立；
假设 时, 成立,那么当 时,
.
∴当 时, 也成立.
由以上 、 可知,当 时,有 ；当 时, ；
当 时, .
6．如图,△ABC和△DBC所在平面互相垂直 ,AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120o,求
(1) AD与平面BCD的成角;
(2) AD与BC的成角;
(3) 二面角A-BD-C的正切值.
（1）如图,过A作AE⊥CB与CB的延长线交与E,连接DE,
∵平面ABC⊥平面DBC∴AE⊥平面DBC,
∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角.
∵AB＝BD,∠CBA=∠DBC,EB＝EB
∴∠ABE＝∠DBE,∴△DBE≌△ABE
∴DE⊥CB且DE＝AE
∴∠ADB＝45°∴AD与平面CBD
所成的角为45°
（2）由（1）知CB⊥平面ADE
∴AD⊥BC即AD与BC所成的角为90°.
（3）过E作EM⊥BD于M
由（2）及三垂线定理知,AM⊥BD,
∴∠AME为二面角A－BD－C的平面角的补角.
∵AE＝BE＝2ME,∴tg∠AME＝2,故二面角A-BD-C的正切值为－2.
7．三棱锥P-ABC中,三侧棱PA、PB、PC两两相互垂直,三侧面面积分别为S1、S2、S3,底面积为S,三侧面与底面分别成角α、β、γ,（1）求S（用S1、S2、S3表示）；（2）求证：cos2α+cos2β+cos2γ=1；
设PA=a,PB=b,PC=c,则S1= ab ,S2= bc,S3= ca,
作PD⊥BC于D,连AD,易证BC⊥平面PAD,
于是BC⊥AD；S△ABC= BC×AD,在Rt△APD中,AD2=a2+PD2,
在Rt△BPC中,PD2= ,
∴AD2=a2+
∴S△ABC2=（ BC×AD）2= （a2b2+b2c2+c2a2）=
∴
证明：由（1）知,PD⊥BC,AD⊥BC,∴∠PDA是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角,不妨设∠PDA=α,
PD2= ,AD2=
∴cos2α= ；同理cos2β= ；
cos2γ= ；∴cos2α+cos2β+cos2γ=1
8．某渔场养鱼,鱼的重量增长率第一年为400%,以后每年重量增长率都是前一年的三分之一.同时鱼每年要损失预计重量的10%.预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的20%,以后每年的费用M（t）与年数t满足关系式 （其中 为鱼苗成本, ）.问该渔场的鱼养几年后全部捕捞,鱼的产值高且费用较少（设鱼苗价30元/斤,成鱼市场价7元/斤）.
设第 年鱼的产值 为最高.p为鱼苗总重量,则
,


……,

当
即第4年鱼的产值最高；另一方面,

当 或4时,
下面比较第4年比第3年增加的产值G与该年投入的费用 的大小.
若G≠0则取 ；
若 则取

∴取 ,即该渔场三年后捕捞,鱼的总产值高且费用较少.
9．已知椭圆C： (a＞b＞0)的长轴两端点为A、B,
（1）过焦点F作垂直于长轴的弦PP′,当tg∠APB= 时,求C的离心率；
（2）如果C上存在一点Q,且∠AQB=1200,求C的离心率的范围.
(1)设F为右焦点；P在x轴下方,横坐标为c,则纵坐标为 .
kPA= ,kPB= .
∴tg∠APB= ,∴ ,∴e= .
(2)设θ(x,y),由对称性,不妨设θ在x轴上方,即y＞0.
kAQ= ,kBQ= ,∴ =tg∠AQB= .
∴ =(x2＋y2－a2)＋2ay=0.
此方程与椭圆方程联立,可求出y=0或 .由y=0,得Q与A或B重合,舍去.当 时,由Q在椭圆上半部.
∴ ≤b,∴ ,∴e∈ .
10．购买一件售价为5000元的商品,采用分期付款方法.每期付款数相同,购买后1个月付款一次,过1个月再付一次,如此下去,到第12次付款后全部付清.如果月利率为0.8%,每月利息按复利算（上月利息要计入下月本金）,那么每期应付款多少（精确到1元）?
设每期付款x元,根据题意,得到

所以 .
由等比数列前n项和的公式得
,由计算器算得x≈439（元）.
答：每期应付款约439元.
解法二：设每期付款x元,第n期后欠款数记作an那么,
第1期后的欠款数为
第2期后的欠款数为
第3期后的欠款数为 .
……
第12期后的欠款数为

因为第12期全部付清,所以a12=0即
,

解得 x≈439（元）.
答：每期应付款约439元.