在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=[1/2]∠BCA，

（1）△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．
证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°-∠BGO，
∠EPO=90°-∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO，
在△BOG和△POE中


∠GBO＝∠OCE
OB＝OC
∠BOG＝∠COE


∴△BOG≌△POE．
∴OE=OG，
又∵∠EOG=90°，
∴将线段OE绕点O顺时针旋转90°就得到OG．
又∵OB=OP，∠POB=90°，
∴将线段OP绕点O顺时针旋转90°就得到OB．
∴△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．

（2）如图2，作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB，
∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB，
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
在△BMN和△PEN中


∠MBN＝∠NPE
NB＝NP
∠MNB＝∠ENP
∴△BMN≌△PEN，
∴BM=PE．
∵∠BPE=[1/2]∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．
又∵在△BPF和△MPF中


∠BPF＝∠MPF
PF＝PF
∠BFP＝∠MFP
∴△BPF≌△MPF，
∴BF=MF，即BF=[1/2]BM，
∴BF=[1/2]PE，即[BF/PE]=[1/2]．


（3）如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，


∴∠BPN=∠BCA，
∵∠BPE=[1/2]∠BCA，
∴∠BPF=∠MPF，
∵PF⊥BG，
∴∠BFP=∠MFP，
在△BFP和△MFP中


∠BFP＝∠MFP
PF＝PF
∠BPF＝∠MPF
∴△BFP≌△MFP（ASA），
∴BF=FM，
即BF=[1/2]BM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DB⊥AC，
∵PM∥AC，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，
∴∠BNM=90°
∵∠PFM=90°，
∴∠MBN+∠BMN=90°，∠MPF+∠BMN=90°，
∴∠MBN=∠NPE，
∵∠BNM=∠ENP，
∴△BMN∽△PEN．
∴[BM/PE]=[BN/PN]，
∵tanα=[BN/PN]=[BM/PE]=[2BF/PE]，
∴[BF/PE]=[1/2]tanα．

点评：
本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质；平行线分线段成比例．

考点点评： 本题考查了正方形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数的定义等知识点的应用，题目综合性比较强，难度偏大．