如图，AC、BD为圆O的两条弦，AC、BD相交于点P，连结OP，若OP平分∠BPC，求证：AC=BD．

解题思路：过O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，连接OC、OB，根据垂径定理求出AC=2CN，BD=2BM，根据角平分线性质求出OM=ON，根据勾股定理求出BM=CN，即可得出答案．

证明：
过O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，连接OC、OB，
∵OP平分∠BPC，
∴OM=ON，
在Rt△BMO和Rt△CON中，由勾股定理得：BM²=0B²-OM²，CN²=OC²-ON²，
∵OB=OC，
∴CN=BM，
由垂径定理得：BD=2BM，AC=2CN，
∴AC=BD．

点评：
本题考点： 垂径定理；角平分线的性质；勾股定理．

考点点评： 本题考查了角平分线性质，勾股定理，垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力．

连接OP，作OE⊥PB,OF⊥AC
OP是∠BPC平分线 ，因，OE⊥PB,OF⊥AC
所以，OE=OF
OE和OF是弦心距，OE=OF
即，AC=DB

连结po并延长交圆于e 延长op交圆于f 连接ab cd

∵op为角平分线

∴角BPE=角CPE

所以弧BE=弧CE

因为APD BPC 为对顶角 所以相等

同理得角APF=DPF

所以弧AF=弧DF

所以弧AB=弧CD

所以AB=CD

因为弧AD=弧AD

所以角C=角B

因为弧BC=弧BC

所以角A=角C

所以三角形ABP全等于DCP

所以AP=PD BP=PC

所以AC＝BD