（2014•南通三模）各项均为正数的数列{xn}对一切n∈N*均满足xn+[1xn+1＜2．证明：

（1）因为x_n＞0，xn+
1
xn+1＜2，
所以0＜
1
xn+1＜2−xn，
所以xn+1＞
1
2−xn，且2-x_n＞0．
因为
1
2−xn−xn＝

x2n−2xn+1
2−xn＝
(xn−1)2
2−xn≥0．
所以[1
2−xn≥xn，
所以xn≤
1
2−xn＜xn+1，即x_n＜x_n+1．…4分
（注：用反证法证明参照给分）
（2）下面用数学归纳法证明：xn＞1−
1/n]．
①当n=1时，由题设x₁＞0可知结论成立；
②假设n=k时，xk＞1−
1
k，
当n=k+1时，由（1）得，xk+1＞
1
2−xk＞
1
2−(1−
1
k)＝
k
k+1＝1−
1
k+1．
由①，②可得，xn＞1−
1
n．…7分
下面先证明x_n≤1．
假设存在自然数k，使得x_k＞1，则一定存在自然数m，使得xk＞1+
1
m．
因为xk+
1
xk+1＜2，xk+1＞

点评：
本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题考查数列与不等式的证明方法，数学归纳法的应用，也可以利用反证法证明．