（1）如图1，已知定点F1（-2，0）、F2（2，0），动点N满足|ON|=1（O为坐标原点），F1M=2NM，MP=λ

（1）如图1，已知定点F₁（-2，0）、F₂（2，0），动点N满足|

|=1（O为坐标原点），

F1M

，

=λ

MF2

（λ∈R），

F1M

•

=0，求点P的轨迹方程．

（2）如图2，已知椭圆C：

+y²=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N，
（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁•k₂为定值；
（ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

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princess1116 春芽

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解题思路：（1）由双曲线的定义可知：点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线，从而可得点P的轨迹方程；
（2）（ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k₁，k₂，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；
（ⅱ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由

•

=0列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．

（1）连接ON，
∵

F1M=2

NM，∴点N是MF₁中点，∴|MF₂|=2|NO|=2
∵

F1M•

PN=0，∴F₁M⊥PN，∴|PM|=|PF₁|
∴||PF₁|-|PF₂||=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|
由双曲线的定义可知：点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线．
∴点P的轨迹方程是x2−
y2
3＝1；
（2）（ⅰ）令P（x₀，y₀），则由题设可知x₀≠0，
∵A（0，1），B（0，-1），
∴直线AP的斜率k₁=
y0−1
x0，PB的斜率k2＝
y0+1
x0，
又点P在椭圆上，∴
x02
4+y02＝1，
从而有k1k2＝
y0−1
x0•
y0+1
x0＝
y02−1
x

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．

考点点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查代入法，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．

1年前

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