泰勒级数在什么情况下一定收敛于f(x)

泰勒级数在什么情况下一定收敛于f(x)
既然泰勒级数在收敛域内不一定收敛于f(x)那么 什么条件下 可以确定收敛于f(x)么
33jie 1年前 已收到2个回答 举报
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jobhunter 幼苗

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这个不对吧,泰勒级数在收敛域内一定收敛于f(x) （要不干嘛叫收敛域呢,应该是如果泰勒级数在点x=x0的某邻域收敛,但它却不一定收敛于f(x) .理论上说,如果f(x)的泰勒展开式中的余项R(x)满足当n趋于无穷时limR(x)=0,那么可以确定收敛于f(x).但实际上证明limR(x)=0太麻烦,通常判断泰勒级数在什么条件下收敛于f(x)也就是求幂级数的收敛域,可以利用幂级数的收敛半径很方便地求得.

1年前 追问

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33jie 举报

但是书上有句话说 函数展开成泰勒级数 但是它却不一定收敛于函数本生哦 比如分段函数f（x）在x=0为0，x不等于0的时候为e^(-1/x^2)那个例子 留下qq交流嘛

举报 jobhunter

e^(-1/x^2)那个例子我看过，它是说f(x)在x=0处的各阶导数都存在且都等于0，于是按泰勒级数的展开式得∑0*x^n/n!=0+0+0+...，但它不是f(x)的麦克劳林级数，即f(x)不能展开为泰勒级数，∑0*x^n/n!=0+0+0+.这个展开式只是形式上的，没什么意义，它根本就不是f(x)的泰勒级数，更谈不上收敛域了。我的q1206683842，不过我不经常上的。

黑din 幼苗

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常用的充分条件是这样的：
如果函数 f(x) 可以延拓为复变函数 f(z) (即 x 可以是复数, 记为 z 以示区别)，并且 f(z) 在以 z0 为圆心，半径为 R 的圆内解析（复可导），则 f(z) 在 z0 处的泰勒级数在该圆内处处收敛到 f(z)。
这个定理不仅说明了泰勒级数的收敛性、收敛到的值，还给出了判定收敛半径的方法。
对于初等函...

1年前

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