如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，矩形EHGF在三角形ABC内，且G、H在边BC上．求矩形E

解题思路：要使矩形EHGF的面积最大，则应使E、F在AB和AC的中点上，这时矩形的面积最大．

矩形EFGH的面积最大时，E和F应分别在AB和AC上，作BP⊥AB，CP⊥AC，BP与CP将于点P，四边形ABPC是正方形，延长EH交BP于W，延长FG交CP于Q，边长QW，AP分别交EF与U、V．

容易证明，四边形EFQW是顶点在正方形ABPC的边长上的矩形，并且在正方形ABPC内，设AE=x，则EB=1-x，
AE=AF=PW=PQ=x
EB=BW=FC=QC=1-x
于是
EW=UV，EU=AU，WV=VP
因此
EF+EW+WQ+QF=AP+BC=常数
即矩形EFQW的周长一定，在所在周长相同的矩形中，面积最大者为周长的正方形，此时AE：EB=1，因此矩形EFGH的面积最大为
S_□EFGH=[1/2]S_△ABC=[1/4]．
答：矩形EFGH的面积最大为[1/4]．

点评：
本题考点： 组合图形的面积．

考点点评： 本题的关键是确定当矩形EFGH面积最大时它的面积与三角形ABC面积的关系．

设BH为X，矩形面积最大时，CG肯定也是X，所以EH也是X,所以EF为(根号2减去2X），利用二次函数，矩形面积最大为四分之一。

过A点作BC的垂线，垂足为D，交EF于O点。
据题意求得：AD=BD=√2/2，四边形EODH是矩形，EH+EO=AD。
矩形EODH的周长=2AD，因为矩形周长一定，正方形的面积最大。
∴EH=EO=√2/4，EF=√2/2。
∴矩形EHGF的面积=√2/4×√2/2=1/4。