已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c，满足，f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是 - 1 4 ．

（1）由二次函数图象的对称性，可设f（x）=a（x-
1
2 ） ² -
1
4 ，
又f（0）=0，∴a=1
∴f（x）=x ² -x；
（2）g（x）=ln x-f（x）f′（x）=lnx-（x ² -x）（2x-1），
∴g′（x）=
1
x -6x ² +6x-1=（1-x）（6x ² +1）（x＞0）
∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
∴x=1时，函数g（x）取得最大值为0；
（3）对任意正数x，恒有f（x）+ f(
1
x ) ≥（x+
1
x ）1nm，等价于对任意正数x，恒有（ x 2 +
1
x 2 ）-（x+
1
x ）≥（x+
1
x ）1nm，
令t=x+
1
x （t≥2），则 x 2 +
1
x 2 =t ² -2
∴对任意正数x，恒有t ² -2-t≥tlnm
∴lnm≤ t-
2
t -1
∵t≥2，∴ t-
2
t -1≥0
∴lnm≤0
∴0＜m≤1．